Goldener Schnitt

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Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) oder auch die göttliche Teilung (lat. proportio divina) ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen oder Größen. Streckenverhältnisse im Goldenen Schnitt werden in der Kunst und Architektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Darüber hinaus tritt das Verhältnis auch in der Natur in Erscheinung und zeichnet sich durch eine Reihe interessanter mathematischer Eigenschaften aus.

Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes: a verhält sich zu b wie a+b zu a.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition und Goldene Zahl

Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren Strecke verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.

Das Verhältnis wird meist mit dem griechischen Buchstaben Φ (Phi) bezeichnet und Goldene Zahl genannt.

Wird die längere Strecke mit a und die kürzere mit b bezeichnet, dann gilt

\frac{a}{b}= \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a}

Daraus ergibt sich für das Verhältnis a zu b

\Phi = \frac{a}{b}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618033988\dots

[Bearbeiten] Geschichte

Der Mathematiker Mark Barr schlug den ersten Buchstaben im Namen des griechischen Bildhauers Phidias, phi, als Symbol für den Goldenen Schnitt vor.
Michael Maestlin, der 1597 eine erste dezimale Näherung für den Goldenen Schnitt veröffentlichte.

Der Goldene Schnitt fasziniert westliche Wissenschaftler der verschiedendsten Richtungen seit mindestens 2.400 Jahren:

"Einige der größten mathematischen Köpfe aller Zeiten haben unzählige Stunden mit diesem einfachen Quotienten und seinen Eigenschaften verbracht, von Pythagoras und Euklid im antiken Griechenland, über den italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa im Mittelalter und den Astronomen Johannes Kepler in der Renaissance, bis zu heutigen Wissenschaftlern wie den Physiker Roger Penrose aus Oxford. Aber die Faszination des Goldenen Schnitt beschränkt sich nicht auf Mathematiker. Biologen, Künstler, Musiker, Historiker, Architekten, Psychologen und sogar Mystiker haben über die Grundlage seiner Allgegenwärtigkeit und Faszination gegrübelt und diskutiert. Tatsächlich kann man wohl sagen, dass der Goldene Schnitt wie keine andere Zahl in der Geschichte der Mathematik Denker aller Disziplinen inspiriert hat."
- Mario Livio The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, 2002

Was wir heute den Goldenen Schnitt nenne wurde wegen seines häufigen Auftretens in der Geometrie bereits von Mathematikern im antiken Griechenland studiert. Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes stammt aus Euklids Elementen[1] (im Original Στοιχεῖα stoicheia) um 300 v. Chr. Er stieß über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm darauf. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was heute als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.

In seinem Rechenbuch Liber abaci (1202) beschreibt der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci die erste systematische Einführung in das indische Zahlenrechnen und das Rechnen mit arabischen Ziffern. Man findet dort auch seine Betrachtungen zur Arithmetik, in denen die Fibonacci-Folge auftaucht: Hierbei werden die ersten beiden Glieder zu 1 vorgegeben und die nachfolgenden werden aus der Summe ihrer beiden Vorgänger gebildet ( z.B.: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 usw.). Teilt man aber jedes Glied dieser Folge durch das vorhergehende, so erhält man eine neue Folge, die angenähert gegen die Zahl 1,61803 strebt, den Goldenen Schnitt.

Die neuere Geschichte des Goldenen Schnitts beginnt mit Luca Pacioli's Divina Proportione (1509), die die Phantasie von Künstlern, Architekten, Wissenschaftlern und Mystikern beflügelte. Die erste bekannte Näherungsrechnung einer (Umkehr-)funktion des Goldenen Schnitts durch einen Dezimalbruch wurde 1597 von Prof. Michael Maestlin (Universität Tübingen) in einem Brief an seinen früheren Studenten Johannes Kepler aufgeschrieben und als "ungefähr 0,6180340" angegeben[2].

Seit dem 20. Jahrhundert wird der Goldene Schnitt durch den griechischen Buchstaben Φ oder φ (phi) repräsentiert (nach dem Bildhauer Phidias, der ihn verwendet haben soll) oder seltener auch durch τ (tau), den ersten Buchstaben des griechischen Wortes τομή root, was "schneiden" bedeutet.

[Bearbeiten] Konstruktion

Als Konstruktionsverfahren betrachtet man in der Geometrie nur diejenigen Verfahren, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren. Im Folgenden seien exemplarisch einige erwähnt:

Innere Teilung
  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Verfahren nach Euklid
  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Bei diesen beiden Beispielen spricht man von einer inneren Teilung der Ausgangsstrecke AB. Im Folgenden ein Beispiel für eine äußere Teilung, bei der der zu konstruierende Punkt außerhalb der Ausgangsstrecke liegt.

Äußere Teilung
  1. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
  2. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
  3. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.


[Bearbeiten] Geometrie

Pentagramm

[Bearbeiten] Pentagramm

Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt.

Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über stetige Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das man in das innere Fünfeck zeichnen könnte, und damit auch in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist.

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch CD=CC' gilt. Ursache ist, dass das Dreieck DCC' zwei gleiche Winkel besitzt, wie man durch Parallelverschiebung der Strecke CC' erkennen kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

\frac{\ \overline\mathrm{AB}\ }{\ \overline\mathrm{BB'}\ } = \frac{\ \overline\mathrm{AC}\ }{\overline\mathrm{CC'}}

Ersetzt man AC=AB+BC und beachtet die Gleichheit der auftretenden Teilstücke, so erhält man genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt.

Das Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und a der Fall ist.
Drei Goldene Rechtecke im Ikosaeder

[Bearbeiten] Goldenes Rechteck und Dreieck

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, bezeichnet man als Goldenes Rechteck. Ein Goldenes Recht lässt sich stets in ein Quadrat und ein kleineres, ebenfalls Goldenes Rechteck zerlegen.

Ebenso nennt man ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldenes Dreieck.

[Bearbeiten] Goldener Winkel

Eine bedeutende Rolle spielt der so genannte Goldene Winkel Ψ (Psi). Man erhält ihn, wenn man die 360° des Vollkreises im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. Bezeichnet man den kleineren dieser Winkel als Ψ1 und den größeren als Ψ2, so ergibt sich

\Psi_2 = \frac{360^\circ}{\Phi} \approx 222{,}5^\circ

Da sich Winkel kleiner als 180° für die Praxis als handlicher erweisen, wird gewöhnlich der kleinere Winkel Ψ1 als Goldener Winkel Ψ bezeichnet, das heißt

\Psi = 360^\circ - \frac{360^\circ}{\Phi} \approx 137{,}5^\circ

[Bearbeiten] Goldener Schnitt im Ikosaeder

Die zwölf Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von drei gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Die Anordnung der drei Rechtecke heißt auch Goldener-Schnitt-Stuhl.

Goldene Spirale

[Bearbeiten] Goldene Spirale

Ein Goldenes Rechteck lässt sich in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck zerlegen. Durch wiederholte Teilung erhält man eine Figur, in die sich eine logarithmische Spirale einzeichnen lässt, die Goldene Spirale. Sie wird oft, wie in nebenstehender Abbildung, durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor Φ.

[Bearbeiten] Die Bedeutung des goldenen Schnitts

Ein möglicher Grund für die Beliebtheit des Goldenen Schnittes ist in seinem hohen Grad an Irrationalität zu sehen. Das bedeutet, dass er sich von allen Verhältnissen kleiner ganzer Zahlen, wie beispielsweise 2 : 3 oder 3 : 4, deutlich abhebt, was in bestimmten ästhetischen Zusammenhängen erwünscht sein kann. Möglicherweise wurde und wird er oft auch unbewusst und ohne exakte Maßkontrolle intuitiv gewählt.

[Bearbeiten] Architektur

Frühe Hinweise auf die vermutlich unbewusste Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde. Die entsprechende Textstelle ist jedoch nur interpretierbar. Andererseits wird auch die These vertreten, dass das Verhältnis 2:π für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied beider Thesen beträgt 3,0 Prozent.

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie beispielsweise die Vorderfront des 447–432 v. Chr. unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis. Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden. Auch in späteren Epochen finden sich zahlreiche Beispiele für die goldene Proportion, wie etwa der Dom von Florenz, Notre Dame in Paris oder die Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.). Es gibt jedoch keinen empirischen Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnitts.

Das Alte Rathaus in Leipzig, der Turm teilt die Fassade im Goldenen Schnitt

Ein Beispiel für die bewusste Umsetzung des Goldenen Schnitts ist das Alte Rathaus in Leipzig, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57. Der aus der Mittelachse gerückte Rathausturm galt als architektonische Avantgardeleistung der damaligen Zeit und stand mit dem dadurch verursachten Wirbel und Aufruhr für das städtische Selbstbewusstsein der Stadt. Auch dem Stadtgrundriss des nordhessischen Bad Arolsen liegt der Goldene Schnitt zugrunde. Er erstreckt sich vom Schloss über die gesamte, geplante Barockstadt. Hier wurde der Goldene Schnitt allerdings dazu verwendet, die göttliche Ordnung auf Erden und damit die Erhabenheit des damaligen absolutistischen Fürsten aufzuzeigen.

Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein einheitliches Maßsystem basierend auf den menschlichen Maßen und dem Goldenen Schnitt. Er veröffentlichte es 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte beziehungsweise -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.

[Bearbeiten] Bildende Kunst

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von Kandidaten für den Goldenen Schnitt, wie man sie beispielsweise in einem reich strukturierten Gemälde finden kann, oft umstritten.

So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie der Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jahrhundert v. Chr.). Der Goldene Schnitt wird auch in vielen Gemälden der Renaissance vermutet, wie bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, zum Beispiel bei Dürers Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich Melencolia I von 1514.

[Bearbeiten] Biologie

Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldenen Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Agave victoria-reginae
Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen.
Brassica oleracea var. botrytis 'Romaneso'
Helianthus annuus mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen.
Blüte von Platycodon grandiflorus

Beispiele sind Helianthus, Kohlarten, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jeder Blattwurzel einen besonderen Wachstumshemmer (Inhibitor) erzeugen, der im Pflanzenstamm - vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung - diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl m/n teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige n Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie beispielsweise die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird, eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder auch im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, … korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschieden Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang des Pflanzenstammes besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinander folgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand n, wobei n eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das n-fache des Goldenen Winkels Ψ ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

n \Psi = n \frac{360^\circ}{\Phi} \approx n \frac {m}{n} 360^\circ = m \,360^\circ ,

wobei m die nächst kleinere Fibonacci-Zahl zu n ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind n Spiralen zu sehen. Ist n/m größer als Φ so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen in Blütenständen, wie beispielsweise bei Sonnenblumen. Pflanzenarchitektonisch entsprechen den einzelnen Samen Blätter, wobei jedes einzelne einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann, so als hätte man einen Pflanzenstamm mit seinen Blättern wie ein Teleskop zusammengeschoben. Wachtumstechnisch aufeinander folgende Samen liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen zählt man 34 und 55 Spiralen, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 Prozent.

Der Goldene Schnitt lässt sich auch über radiärsymmetrische fünfzählige Blüten konstruieren wie beispielsweise bei Campanula, Aquilegia und der Rosa canina. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in diesem Verhältnis.

Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie beispielsweise bei der Pappel. Auch im Efeublatt stehen die Blattachsen ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, der Goldene Schnitt sei ein göttliches Naturgesetz und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers[3] an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnitts teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie beispielsweise bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen des Verhältnisses im 20-Prozent-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie beispielsweise die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.

[Bearbeiten] Belege

[Bearbeiten] Literatur

Historische Literatur

Neuere Literatur

[Bearbeiten] Einzelnachweise

  1. ↑ Euklid: Elemente, Buch 6, Theorem 30
  2. ↑ The MacTutor History of Mathematics archive: The Golden Ratio, abgefragt am 18. Sept. 2007
  3. ↑ Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Leipzig 1854.

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CC by-sa Dieser Artikel basiert auf dem Artikel Goldener Schnitt aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und wird hier in der Hortipedia weiterentwickelt. Er steht unter der Lizenz CC-by-sa 3.0, in der Wikipedia ist eine Liste der ursprünglichen Autoren verfügbar.
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